назад

полную версию можно заказать и получить на маил по телефону 0772 66 07 68

Асимптотическая теория систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с малым параметром при старшей производной с обратным временем

 

Содержание

 

 

 

 

Введение                                                                                              4

§1.    Постановка задачи                                                                               8

§2.    Формальное асимптотическое разложение                                       9

§3.    Оценка остаточного члена асимптотического ряда                          23

         Заключение                                                                                           42                                          

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Данная дипломная работа посвящена важному классу дифференци­альных уравнений—уравнениям с малыми параметрами при производных, или, как принято их теперь называть, сингулярно возмущенным уравнениям. Начиная с основополагающих работ академика А. Н. Тихонова, такие уравнения привле­кают внимание многих исследователей. Это объясняется боль­шой прикладной значимостью сингулярно возмущенных урав­нений. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, био­логии, технике. К настоящему времени развит ряд асимптоти­ческих и численных методов, позволяющих строить приближен­ное решение в тех или иных сингулярно возмущенных задачах. В данной работе речь пойдет об одном из эффективных асимптотических методов в теории сингу­лярных возмущений—методе пограничных функций. При­менительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также интегродифференциальным и дифференциально-разно­стным уравнениям метод пограничных функций.

Математика изучает процессы, происходящие в реальном мире, с помощью математических моделей этих процессов. Лю­бая математическая модель является приближенной, не адек­ватной полностью тому процессу, который она описывает. Ко­нечно, при составлении математической модели стремятся к тому, чтобы она отражала все наиболее существенные стороны процесса. Однако, с другой стороны, математическая модель должна быть достаточно простой для исследования, должна давать возможность извлечь из нее доступными средствами необходимую информацию о процессе. Поэтому какие-то фак­торы, влияние которых на процесс представляется малым, неизбежно приходится не учитывать, и они оказываются не представленными в математической модели процесса.

Естественно поставить вопрос о роли этих неучтенных фак­торов: будет ли их влияние на ход процесса несущественным, или, напротив, учет этих факторов, хотя они и кажутся нам незначительными, может существенно изменить ту информа­цию о процессе, которую мы получаем из математической мо­дели. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно составить более сложную (расширенную) модель, учитывающую те малые фак­торы, которые в первоначальной (упрощенной) модели не были представлены, и затем исследовать вопрос о близости решений, полученных из упрощенной и расширенной моделей.

Учет отмеченных малых факторов приводит, как правило, к тому, что в расширенной модели по сравнению с первоначаль­ной появляются дополнительные члены с малыми множителями, которые и характеризуют малость этих факторов. Указан­ные малые множители называют малыми параметрами. Если математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение, то вопрос о влиянии малых параметров на иссле­дуемый процесс сводится к изучению зависимости решений дифференциальных уравнений от малых параметров. Члены уравнения, содержащие малые параметры, называются возмущением, исходное уравнение, не содержащее этих членов,— невозмущенным, а расширенное уравнение (расширенная мо­дель) - возмущенным уравнением или уравнением с возму­щением.

Возмущения, встречающиеся в различных задачах, можно условно разделить на два класса: регулярные возмущения, и сингулярные возмущения. Если говорить об их качественном отличии, не давая пока формального определения, то можно сказать так: под регулярным возмущением понимают такое возмущение, которое приводит к малому изменению решения невозмущенной задачи. В отличие от регулярных возмущений сингулярные возмущения, хотя и являются малыми в каком-то смысле, вызывают существенные изменения решения.

Сформулируем теперь определение регулярно возмущенной и сингулярно возмущенной задач.

Определение. Задача  называется регулярно возму­щенной, если

 при .

 

В противном случае задача  называется сингулярно возмущённой

.Аналитические методы обычно делятся на эвристические и точ­ные. Совмещая в себе простоту эвристических представлений с точ­ностью аналитических оценок, асимптотические методы не ограни­чиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие от классической математики со­стоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического разложе­ния всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность асимптотических методов под­тверждается также тем фактом, что активное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит как раз через асимптотику.

Под асимптотическим методом понимается тот или иной способ построения асимптотического приближения  для решения  задачи. Как правило, построение  сво­дится к решению более простых задач, чем исходная задача . Практическая ценность асимптотического метода определя­ется возможностью эффективного нахождения  с помощью этих более простых задач.

Обратим внимание на сходство и различие между асимпто­тическими и численными методами решения сингулярно возму­щенных задач. Асимптотическое приближение является прибли­жением к решению изучаемой задачи при достаточно малом  . В то же время в реальных задачах  хоть и мало, но фиксировано. Поэтому  может оказаться довольно гру­бым приближением к , не обеспечивающим нужной точ­ности. При численном решении дифференциальное уравнение  заменяется Чнекоторым разностным уравнением с предвари­тельным разбиением отрезка интегрирования на п частей. Ре­шение такого разностного уравнения (при фиксированном ) служит приближением для решения  задачи . Увеличи­вая п, можно обеспечить требуемую степень близости решения разностного уравнения к .

Однако при численном интегрировании сингулярно возму­щенного уравнения возникают большие трудности в связи с тем, что в пограничном слое решение  резко меняется, и во многих сингулярно возмущенных задачах стандартные чис­ленные методы не работают при малых . Разработка специаль­ных численных методов для решения сингулярно возмущенных задач представляет собой отдельную самостоятельную пробле­му. Ей посвящены многие работы.

Асимптотическое приближение, хотя и является грубым, дает качественное представление о решении и служит ориенти­ром для построения более тонких численных методов.

Таким образом, асимптотические методы для сингулярно возмущенных задач имеют важное значение. Вместе с тем необ­ходимо отметить, что те более простые задачи, с помощью ко­торых строится асимптотическое приближение для решения задачи , в частности задача , в свою очередь могут потре­бовать привлечения численных методов, поскольку для практи­ческих целей часто недостаточно уравнения или формулы, а требуется довести результат до числа. Резюмируя, можно ска­зать, что численные и асимптотические методы не исключают, а дополняют друг друга. Для решения многих задач на прак­тике применяются комбинированные методы, включающие и асимптотический анализ, и численный счет.

 

§1 постановка задачи

 

Здесь разработана довольно общая теория систем нелинейных интегро - дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной с обратным временем. Многие некорректные задачи математической физики сводятся к исследованию решений операторного  уравнения вида

 

* =Au

 

с обратным временем

 

u(T)=b

 

Такие проблемы исследовались методом квазиобращения. В этой дипломной работе исследуются системы нелинейных интегро - дифференцальных уравнений

 

 =Au+(t,)

 

с начальным вектором  u(T)=b, где A nn – постоянная матрица,  - малый положительный пораметр; в квадрате 0   nn – матричная функция K(t,s) непрерывна и имеет непрерывные производные по t и s; в области R n–мерная векторная функция

непрерывна имеет непрерывные производные по всем аргументам t,q; bn-мерный постоянный вектор. Кроме того, предполагается, что все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, т.е. существует положительное постоянное число , такое, что при всех 1 справедливы неравенства

 

Reel<-a<0,

 

и все характеристические числа простые. Здесь при  получаем обыкновенное дифференциальное  уравнение

*=Au

с краевым условием u(T)=b. Можно показать, что вектор – функция

 

u(t)=

 

является решением этой системы при , где - постоянная матрица. В самом деле

 

.

 

Отсюда в силу линейной независимости функции вытекает, что

.

Следовательно,  являются характеристическими числами матрицы А. Так как по предположению Reel<-a<0, то из (4) вытекает, что

 

,

где . Можно показать, что

 при .

Здесь будет показано, что интегральное возмущение  играет существенную роль в теории систем нелинейных интегро - дифференциальных уравнений (3) с начальным вектором  u(T)=b.

        

 

§2 формальное асимптотическое разложение

 

Дадим теперь метод общего асимптотического разложения решений задачи Коши для системы (3). Формальное решение системы (3) будем искать в виде

 

U(t,)=

 

Формально, подставляя ряд (5) в систему (3), получаем

 

Рассмотрим выражения

 

 

Разлагаем теперь формально в ряды Тейлора вектор – функции.

где

()

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Оценка остаточного члена асимптотического

 ряда